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    圆的面积与圆的公式

    发布时间:2020-10-23 13:35:21 作者:冬青好 

    由导师撰写

    20201023132043.png

    上图是X – Y坐标轴上单位圆的图形。
    从图中可以看出,单位圆定义为半径(r)=1。
    从象限I到象限IV,逆时针旋转,单位圆轴上坐标点为:

    (1、0),(0、1),(-1、0)和(0,-1)

    当我们在单位圆周围定义X和Y坐标时,记住这一点很重要。单位圆具有360°。在上图中,单位圆分为4个象限,将单位圆分成4个相等的部分。每一块正好是90°。

    问题:为什么每个部分/象限等于90°?

    20201023132300.png

    同样可以看出,单位圆是由四个90°角组成的,它们总共为360°:

    20201023132332.png


    现在,我们将单位圆分为30°,45°和60°的角度。这些是特殊的角度,记住非常重要。

    20201023132417.png

    让我们从象限I开始,因为这是基础,并且X和Y坐标均为正。见下文。

    然后,我们进入象限II,该象限开始于90°,​​然后转到180°。从下图中,象限II中的每个角度在该象限内分别为30°,45°和60°。但是,由于这些角度在象限I中的参考点位于0°标记处,因此将根据它们从象限I到象限II所成的角度对其进行标记。例如,象限II中的45°标记为135°,因为它是从象限I中的0°到象限II中的45°角度。另外,从图中可以看出,象限II中的45°角在单位圆上介于90°和180°之间。在每个象限中以30°,45°和60°角完成此操作。见下文。

    20201023132449.png

    20201023132537.png

    下图显示了从0°到360°的所有4个象限中单位圆的度数。

    20201023132654.png

    现在,我们将弧度添加到单位圆。弧度是角度测量的标准单位。
    计算弧度的公式为:

    20201023132731.png

    我们将在上面标记的单位圆上计算每个度数的弧度。

    学位 弧度(简体)
    0度 (0°)*(π / 180° 0
    30° (30°)*(π / 180°)= 30π / 180°弧度 π / 6
    45° (45°)*(π / 180°)= 45π / 180°弧度 π / 4
    60度 (60°)*(π / 180°)= 60π / 180°弧度 π / 3
    90° (90°)*(π / 180°)= 90π / 180°弧度 π / 2
    120度 (120°)*(π / 180°)= 120π / 180°弧度  / 3
    135° (135°)*(π / 180°)= 135π / 180°弧度  / 4
    150° (150°)*(π / 180°)= 150π / 180°弧度  / 6
    180° (180°)*(π / 180°)= 180π / 180°弧度 π / 1
    210° (210°)*(π / 180°)= 210π / 180°弧度  / 6
    225° (225°)*(π / 180°)= 225π / 180°弧度  / 4
    240度 (240°)*(π / 180°)= 240π / 180°弧度  / 3
    270° (270°)*(π / 180°)= 270π / 180°弧度  / 2
    300° (300°)*(π / 180°)= 300π / 180°弧度  / 3
    315° (315°)*(π / 180°)= 315π / 180°弧度  / 4
    330° (330°)*(π / 180°)= 330π / 180°弧度 11π / 6
    360度 (360°)*(π / 180°)= 360π / 180°弧度  / 1

    下图显示了所有4个象限中的弧度测量值及其相应的角度。本文介绍了一种简单的方法来记忆单位圆上的点

    20201023132824.png

    接下来,我们将在单位圆上定义X和Y坐标点。为此,我们需要了解特殊直角三角形30 – 60 – 90和45 – 45 – 90度与坐标平面的关系。记住这些直角三角形非常重要,因为它们具有某些特性,在求解三角函数时会派上用场。
    下图显示了象限I中30-60-90和45-45-90度的直角三角形。

    20201023132931.png

      这些三角形也可以在其他3个象限中表示,只是X和Y可能会根据象限改变符号。例如,下图显示了所有4个象限中的45-45-90度直角三角形。请注意,无论三角形位于哪个象限中,三角形的角度仍为45°,但是X和Y坐标会更改符号。例如,请注意,象限III,X和Y均为负。还要注意,r =圆的半径=三角形的斜边该信息用于求解单位圆上的X和Y坐标。

    20201023133011.png

    当求解90°三角形中的X,Y或r时,我们可以使用勾股定理。
    X 2 + Y 2 = r 2(勾股定理)
    在右边,勾股定理用于求解45°角的半径。
    因此,对于45°角,我们有X = 1,Y = 1,并且r =√2
    而且,就半径和角度而言,X和Y可以写成:
    X = r *cosθY = r *sinθ
    如果给出r和Θ,则可以找到X坐标。

    20201023133047.png

    接下来,我们将定义三角函数:

    20201023133120.png

    cosθ° = X / r =相邻/斜边 sinθ° = Y / r =相反/斜边 tanθ° = Y / X =对面/相邻
    secθ° = r / X =斜边/相邻 cscΘ° = r / Y =斜边/相反 cotθ° = X / Y =相邻/对面

    让我们求解45-45-90度三角形的三角函数,并定义X – Y坐标:

    20201023133207.png

    cosθ = X / r正弦角= Y / rtanθ° = Y / Xcos45° = 1 / √2 = √2 / 2sin45° = 1 / √2 = √2 / 2tan45° = Ŷ / X = 1 / 1 = 1

    求解cos45°和sin45°之后,让我们定义单位圆的X和Y坐标点。
    由于X = r *cosθ,Y = r *sinΘr = 1
    对于Θ= 45°,我们有X = 1 * cos45°= √2 / 2Y = 1 * sin45°= √2 / 2

    以下是45°角的X和Y坐标图:

    20201023133244.png

    让我们求解30-60-90度三角形的三角函数,并定义X – Y坐标:

    20201023133315.png

    cosθ = X / r正弦角= Y / rtanθ° = Y / Xcos30° = √3 / 2sin30° = 1 / 2tan30° = 1 / √3 = √3 / 3cos60° = 1 / 2sin60° = √3 / 2tan60° = √3 / 1

    以下是30°和60°角的X和Y坐标图:

    20201023133401.png

    下表显示了与单位圆上度数相关的X,Y坐标点。

    度=Θ (X,Y)座标 度=Θ (X,Y)座标
    0度 (1,0) 210° -√3 / 2-1 / 2
    30° √3 / 21 / 2 225° -√2 / 2-√2 / 2
    45° √2 / 2√2 / 2 240度 -1 / 2-√3 / 2
    60度 1 / 2√3 / 2 270° (0,-1)
    90° (0,1) 300° 1 / 2-√3 / 2
    120度 -1 / 2√3 / 2 315° -√2 / 2-√2 / 2
    135° -√2 / 2√2 / 2 330° √3 / 2-1 / 2
    150° ( - √3 / 21 / 2 360度 (1,0)
    180° (-1,0)    

    要记住的关键公式:
    X = r *cosΘY
    = r *sinΘ
    在单位圆上,半径(r)= 1
    勾股定理:X 2 + Y 2 = r 2

     

    更新:20210423 104210     


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