一元二次方程的根与系数之关系

一元二次方程的根与系数之关系
在解一元二次方程时，我们发现它的根与系数之间有一定之 关系。
例如，在解方程χ2 - 5χ + 6 = 0 时，得
χ₁ = 2 、χ₂ = 3 。
可以看出， χ₁ + χ₂ = 5 是一次项系数-5 的相反数； χ₁ . χ₂ = 6 是 常数项。
又如，解方程2χ² + 5χ - 3 = 0 时，得

可以看出，是一次项系数5除以二次项系数2所得的商之相反数； 是常数项-3除以二次项系数2所 得的商。
一般地，对于一元二次方程aχ2 + bχ + c = 0 ( a ≠ 0 )，

由此得出，一元二次方程的根与系数有下列关系：

如果aχ2 + bχ + c = 0 ( a ≠ 0 )的两个根是1 χ 、2 χ ，

那么

如果把方程aχ2 + bχ + c = 0 ( a ≠ 0 )变形为

我们就可以把它写成
χ2 + pχ + q = 0 的形式，其中从而得出

如果χ² + pχ + q = 0 的两个根是χ₁ , χ₂ ，那么

χ₁ . χ₂ = -p _, χ₁ . χ₂ = q

例题1：

已知方程5χ² + kχ - 6 的一个根是2，求它的另一个根及k的值。

答：方程的另一个根是

试一试，能不能把χ = 2 代入原方程，先求出k 的值，再求出另一个根？

例

利用根与系数的关系，求一元二次方程2χ2 + 3χ -1 = 0 两 个根的 (1) 平方和； (2) 倒数和。

解：设方程的两个根是χ₁ ， χ₂ ，那么

答：方程的两个根之平方和是，倒数和是3