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    导数法则_幂次方法则_乘以常数_加法法则_减法法则_积法则

    发布时间:2020-10-31 17:19:07 作者:冬青好 

    导数 是在函数上任何一点的坡度。

     

    坡度例子 y=3,坡度=0;y=2x,坡度e=2

     

     

      有很多法则可以帮助我们去求导数。

      例子:

    • 常数 (像 3)的坡度永远是 0
    • 直线 (像 2x 是 2,3x 是 3,以此类推)
    • 等等。

      以下是一些常用的法用来求函数的导数(例子在下面)。注意:这个符号  的意思是 "的导数"。.

    常见函数 函数 导数
    常数 c 0
    直线 x 1
      ax a
    平方 x2 2x
    平方根 √x (½)x
    指数 ex ex
      ax ln(a) ax
    对数 ln(x) 1/x
      loga(x) 1 / (x ln(a))
    三角 (x 的单位是 弧度) sin(x) cos(x)
      cos(x) −sin(x)
      tan(x) sec2(x)
    反三角 sin-1(x) 1/√(1−x2)
      cos-1(x) −1/√(1−x2)
      tan-1(x) 1/(1+x2)
         
    法则 函数 导数
    乘以常数 cf cf’
    幂次方法则 xn nxn−1
    加法法则 f + g f’ + g’
    减法法则 f - g f’ − g’
    积法则 fg f g’ + f’ g
    商法则 f/g (f’ g − g’ f )/g2
    倒数法则 1/f −f’/f2
         
    链式法则
    (为 "复合函数")
    f º g (f’ º g) × g’
    链式法则 (用 ’ ) f(g(x)) f’(g(x))g’(x)
    链式法则 (用 ddx  dydx = dydududx

       "的导数" 也可以写成ddx所以 ddxsin(x)  sin(x)’ 是 一样的,只不过写法不同,

       举例

    例子:sin(x) 的导数是什么?

    从上面的列表我们可以看到答案是 cos(x)

    可以写为:

    d/dxsin(x) = cos(x)

    或:

    sin(x)’ = cos(x)

      幂次方法则

        例子:d/dxx3 是什么?

       问题是 "x3 的导数是什么?"

       我们可以用幂次方法则,以 n=3:

       d/dxxn = nxn−1

      d/dxx3 = 3x3−1 = 3x2

      例子:d/dx(1/x) 是什么?

      1/x 等于 x-1

      我们可以用幂次方法则,以 n = −1:

      d/dxxn = nxn−1

      d/dxx−1 = −1x−1−1 = −x−2

      乘以常数

      例子:d/dx5x3 是什么?

    cf 的导数 = cf’

      5f 的导数 = 5f’

      幂次方法则:

    d/dxx3 = 3x3−1 = 3x2

      所以:

    d/dx5x3 = 5d/dxx3 = 5 × 3x2 = 15x2

       例子:x2+x3 的导数是什么?

      加法法则说:

       f + g 的导数 = f’ + g’

       所以我们可以求每项的导数,然后求它们的和。

       幂次方法则:

    d/dxx2 = 2x

    d/dxx3 = 3x2

      所以:x2 + x3 的导数 = 2x + 3x2

      减法法则

      变量不一定是 x,我们可以相对于 v 来求导数:

       例子:d/dv(v3−v4) 的导数是什么?

      减法法则说:

      f − g 的导数 = f’ − g’

      所以我们可以求每项的导数,然后求它们的差。

      幂次方法则:

    d/dvv3 = 3v2

    d/dvv4 = 4v3

      所以:

       v3 − v4 的导数 = 3v2 − 4v3加法、减法、乘以常数和幂次方法则

       例子:d/dx(5z2 + z3 − 7z4) 的导数是什么?

       幂次方法则:

    d/dxz2 = 2z

    d/dxz3 = 3z2

    d/dxz4 = 4z3

      所以:

    d/dx(5z2 + z3 − 7z4) = 5 × 2z + 3z2 − 7 × 4z3 = 10z + 3z2 − 28z3

      积法则

      例子:cos(x)sin(x) 的导数是什么?

      积法则说:

    fg 的导数是 = f g’ + f’ g

    在这个例子里:

    f = cos

    g = sin

      根据上面的列表:

    d/dxcos(x) = −sin(x)

    d/dxsin(x) = cos(x)

      所以:

    cos(x)sin(x) 的导数 = cos(x)cos(x) − sin(x)sin(x) 

    = cos2(x) − sin2(x)

      倒数法则

       例子:d/dx(1/x) 的导数是什么?

      倒数法则说:

    1/f 的导数 = −f’/f2

    若 f(x)= x,f’(x) = 1

       所以:

    1/x 的导数是 = −1/x2

     

      结果和在上面用幂次方法则求的一样。

      链式法则

    例子:ddxsin(x2) 的导数是什么?

    sin(x2) 是由 sin()  x2 结合而成:

    • f(g) = sin(g)
    • g(x) = x2

      链式法则说:

    f(g(x)) 的导数 = f'(g(x))g'(x)

      导数分别是:

    • f'(g) = cos(g)
    • g'(x) = 2x

    所以:

    ddxsin(x2) = cos(g(x)) (2x)

    = 2x cos(x2)

       链式法则也可以写成:dydx = dydududx

       让我们用这个公式来再做一遍上面的例子:

      例子:ddxsin(x2) 的导数是什么?

    dydx = dydududx

      设 u = x2,所以 y = sin(u):

    ddx sin(x2) = ddusin(u)ddxx2

      分别微分:

    ddx sin(x2) = cos(u) (2x)

      代入 u = x2 和简化:

    ddx sin(x2) = 2x cos(x2)

      结果和上面一样!

      再来看看一些链式法则的例子:

      例子:d/dx(1/cos(x)) 的导数是什么?

      1/cos(x) 是由 1/g  cos() 结合而成:

    • f(g) = 1/g
    • g(x) = cos(x)

      链式法则说:

    f(g(x)) 的导数 = f’(g(x))g’(x)

      导数分别是:

    • f'(g) = −1/(g2)
    • g'(x) = −sin(x)

    所以:

    (1/cos(x))’ = −1/(g(x))2 × −sin(x)

    = sin(x)/cos2(x)

      注意:sin(x)/cos2(x) 也是 tan(x)/cos(x),或其他不同的形式。

      例子:d/dx(5x−2)3 的导数是什么?

       链式法则说:

    f(g(x)) 的导数 = f’(g(x))g’(x)

       (5x-2)3 是由 g3  5x-2 结合而成:

    • f(g) = g3
    • g(x) = 5x−2

       导数分别是:

    • f'(g) = 3g2 (用幂次方法则)
    • g'(x) = 5

       所以:

    d/dx(5x−2)3 = 3g(x)2 × 5 = 15(5x−2)2

     

    更新:20210423 104212     

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