超越数_代数数_刘维尔数_超越函数

  超越数

  若一个数不是代数数，它便是超越数超越数的例子包括π 和 e。

  代数数

  什么是代数数？

  简单来说，若有多项式（如例）：

2x² − 4x + 2 = 0

  则 x 是 代数数。（去阅读更多关于代数数的内容）。

  所以超越数不是这样的数。但是，我们怎样可以找到超越数呢？

  刘维尔数

  在公元 1844年，约瑟夫·刘维尔发现了这个数：

	= 0.11000100000000000000000100……
	（在第 n! 个小数位的数字是 1，其他小数位是 0.）

   刘维尔数是个很有趣的数，因为：
      它是无理数，
      它不是任何多项方程的根，所以不是代数数。
  约瑟夫·刘维尔发现了第一个超越数。
  这个数被命名为刘维尔常数。它是个刘维尔数。

  更多超越数

  直至公元 1873年，人类才证明了第一个不是 "故意创造" 的超越数。夏尔·埃尔米特证明了 e 是个3超越数.

  在公元 1882年，费迪南德·冯·林德曼证明了 π 是个超越数。

  实际上，虽然有很多超越数，但要证明一个数是超越数是非常困难的……

  超越数很常见

  代数数是 "可数的"（就是说，非负整数集是 "可数的"，我们可以把代数数与非负整数一对一排列，所以代数数也是可数的。）
  但实数是 "不可数的"。
  因为实数不是代数数便是超越数，所以超越数是 "不可数的"。
  因此，超越数的数量比代数数要多很多。

  超越函数

  如超越数 "不是代数数" 一样，超越函数也 "不是代数函数"。

  正式地说，超越函数是不能以有穷的步骤由初等函数及其反逆函数生成的函数。

  一个超越函数的例子是正弦函数 sin(x)。

  刘维尔数是一种特别的超越数，它们的值与有理数非常近似。

  正式地说，刘维尔数 是有以下属性的实数 x：对于任何正整数 n，有整数 p 和 q（q>1），而使

  因为 x 是个无理数，所以 x 与任何 p/q 都必然有大于 0 的差距:（式子里 "0<" 的部分）

  但右边的不等式表达了差距有多小。这个不等式的意思是："作为 x 的近似值，p/q 可以无穷接近 x，但永远不能等于 x。刘维尔证明了如果一个数可以被有理数序列无穷接近，这个数便是个超越数。

  另一个有趣属性是：对于一个既定的正整数 n，有无穷多双 (p,q) 可以符合上面这个不等式。