既然我们熟悉了三角形的分类，就可以开始对三角形角度的广泛研究。在许多情况下，我们将不得不利用 已经看到的角度定理来帮助我们解决问题和证明。但是，有些三角定理同样重要。这个第一个定理告诉我们，如果我们知道一个三角形的两个角度的度量，就有可能确定第三个角度的度量。
三角角和定理
三角形的内角量度的总和是180。
上图说明了三角角和定理。
让我们做一些涉及三角和定理的例子，以帮助我们了解其效用。
例子
（1）求出？C的度量
解：
与所有问题一样，我们必须首先使用提供给我们的事实。使用该图，我们得到
由于我们的目标是找到？C的量度，因此我们可以使用三角角和定理来解决缺失角。所以我们有
使用给出的角度测量，我们可以将这些值替换为方程式以获得。
将ΔC测量为26°，满足三角形的内角之和为180°的性质。
（2）在下图中找到x的值。
解：
在本练习中，我们得到
看着？RST，我们看到三个角度中的两个给了我们。因此，我们可以应用三角角和定理来求出第三角的度量：
请注意，？SRT是与？QRP相反的垂直角度，因此我们可以推断出
然后，根据全等角的定义，我们有
现在，我们有了？QRP的三个角度测量值之一。由于我们知道 m？P = m？Q = x，我们可以按以下方式使用三角角和定理
我们发现的度量2 P和] Q是67。
为了理解下一个定理，我们必须学习另外两个描述角度的术语。三角形的一侧与另一侧的延伸所形成的角度称为三角形的外角。
外角之所以得名，是因为它们位于三角形的外部。
与三角形的外角不相邻或不相邻的两个角称为远程内角。
既然我们知道这些术语的含义，我们就可以准备一个定理，该定理将极大地帮助我们进行证明。
外角定理
三角形外角的尺寸等于两个远端内角的尺寸之和。
将三角形的两个遥远内角的测量值相加即可得出外角的测量值。
让我们看看如何利用外角定理在下面的示例中帮助我们找到未知角度的度量。
例子
（1）在下图中找到？1和？2的小节。
解：
首先，我们可以求解m？1，因为我们得到了该三角形两个角度的度量。问题的这一部分类似于我们上面已经完成的示例。让我们从给出的陈述开始，它们是：
现在，我们可以使用三角角和定理来求解m？1。所以我们有
为了求解？2的量度，我们将需要应用外角定理。我们知道图中两个遥远的内角是？S和？A。因此，根据外角定理，这些角的总和等于外角的量度。我们有
虽然并非总是必要的，但我们可以使用以前的线知识来检查解决方案。我们看到？1和？2组成了射线AK。并且由于直线具有180°的尺寸，我们知道？1和？2的总和必须为180。让我们检查一下以确保：
因此，我们知道我们已经正确解决了这个问题。
（2）找出m？B。
解：
让我们看一下我们首先获得的信息。我们知道
马上，我们可以应用外角定理来帮助我们解决问题。我们有
但是，这不能回答问题。这个问题要求m？B。仅变量x不能告诉我们角度的度量是什么。因此，我们必须将x = 4插入到m？B的方程式中：
现在我们发现，？B的量度是39°。
更新:20210423 104210