三角方程与半倍角和多倍角
半角方程
示例︰ 解决 
sin
= 3 在间隔内 [0°, 360°.)
解决方案︰写间隔 [0°, 360°)作为一个不等式
0° ≤X ＜ 360°
0° ≤? ＜ 180°
并建立了方程
和写解决方案集
S. S.= {120°, 240°}
倍角方程
示例︰ 解决cos 2x = 
在间隔[0, 2.π)
解决方案︰ 写间隔
[0, 2.π)
作为不平等
0° ≤ x ＜ 2.π
然后乘2 获得间隔为 2x:
0° ≤ 2x ＜ 4.π
使用弧度我们发现在这个间隔的所有数的余弦值, 这些都是
和
所以
写解决方案集
用双角恒等式求解一个方程
示例︰ 解决 cos2x + cos x = 0 在间隔内[0, 2.π).
解决方案︰ 要解决这个问题我们必须改 cos2x 使双角恒等式 （见公式列表）
cos2x + cos x = 0
2cos2x - 1 + cos x = 0
2cos2x + cos x - 1 = 0
(2cosx - 1)(cos x+1) = 0
现在把问题分为两个部分
该解决方案集是
示例︰ 解决 1 - sin θ = cos2θ 在间隔内 [0°, 360°).
解决方案︰ 替换 cos2θ 利用倍角钢的恒等式
1 - sin θ = cos2θ
1 - sin θ = 1 - 2 sin2θ
2 sin2θ - sinθ = 0
sinθ(2 sinθ- 1) = 0
把问题分为两部分
解集是
S. S.={0°, 30°, 150°, 180°}
求解方程，利用多倍角的恒等式
解决 4 sinθ cosθ = √3 在间隔内[0°, 360°.）
从给定间隔 0° ≤ 0 ＜ 360°, 这个间隔 2θ is 0° ≤ 2θ ＜ 720° .
2θ = 60°, 120°, 420°, 480°
θ = 30°, 60°, 210°, 240°
S. S. = {30°, 60°, 210°, 240°}
自 sin 2θ is .π = 180°, 我们可以用这种方式来表达所有的解决方案：
S. S.= {30° + 180°n, 60° + 180°n, 其中 n 是任意整数
求解方程与多个角
解决tan 3x + sec 3x = 2 ,在间隔内[0, 2π）
解决方案︰ 因为我们有切线和割线，这两个表达的一切.
切线
tan 3x + sec 3x = 2
sec 3x = 2 - tan 3x
sec2 3x = (2- tan 3x)2
1 + tan2 3x = 4 - 4 tan 3x + tan23x
-3 = -4 tan 3x
tan 3x = 
3x = 0. 6435 or [象限 I]
3x = 0.6435 + π = 3.7851 [象限 III]
该解决方案 3x 必须是象限I 和 III 自0 ≤ x ＜2π, 我们有 0 ≤ 3x ＜ 6π, 和
3x = 0.6435 + (n)2π, 这里 n = 0, 1, 2 or
3x = 3. 7851 + (n)2π,这里 n = 0, 1, 2
x = 0. 2145, 2.3089, 4. 4033 or
x = 1. 2617, 3. 3561, 5. 4505
我们必须测试每一个解决方案，因为它们是由与双方的产生
方程和增根是可能余弦函数有周期2π的倍数的
正切函数 (π). 这是不够的，然后，到test x =0. 2145 和 x = 1. 2617. 你可以检查这些近似值用计算器获得
tan = (3*0. 2145) + 1/ cos(3 * .2145) = 1. 999 997 228
但是
tan = (3 * 0.1.2617)+ 1/ cos(3 *1. 2617) = -.4999961015
我们的结论是，四舍五入到四位小数
S. S. ={ .2145, 2. 3089, 4. 4033}
你可以看到这由图形 Y1 = tan(3x) + 1/ cos(3x) -2 在你的计算器的窗口[0, 2π] × [-1, 1]
与 Xscl = 1 并注意那里的图 (TI-84型号计算器)穿越 x 轴
更新:20210423 104043